6. (2011山东济宁，22，8分)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.

(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

(1)解：过作直线平行于交，分别于点，，

则，，.

∵，∴.····························································································· 2分

∴，.

∴. ···································································································· 4分

(2)证明：作∥交于点，················································································ 5分

则，.

∵，

∴.

∵，，

∴.∴.······························································ 7分

∴.····················································································································· 8分

5. (2011山东滨州，24，10分)如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

[答案]

当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时，

四边形AECF是矩形………………2分

证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分

又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分

同理，FO=CO………………6分

∴EO=FO

又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°

∴∠2+∠4=90°………………9分

∴四边形AECF是矩形………………10分

4. (2011广东广州市，18，9分)

　 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF．

　 求证：△ACE≌△ACF．

[答案]∵四边形ABCD为菱形

∴∠BAC=∠DAC

又∵AE=AF，AC=AC

∴△ACE≌△ACF(SAS)

3. (2011福建福州，21，12分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.

　 (1)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；

(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,

①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.

②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.

[答案](1)证明:①∵四边形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分,垂足为

∴

∴≌

∴

∴四边形为平行四边形

又∵

∴四边形为菱形

②设菱形的边长,则

在中,

由勾股定理得,解得

∴

(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形

　　 ∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,

∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒

∴,

∴,解得

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.

分三种情况:

i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得

ii)如图2,当点在上、点在上时,, 即,得

iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得

综上所述,与满足的数量关系式是　

2. (2011安徽，23，14分)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、(＞0，＞0，＞0)．

(1)求证：=；

(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；

(3)若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况．

[答案](1)过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CG⊥l₃交l₃于点G，

∵l₂∥l₃，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；

(2)∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD²=AF²+FD²，∴S=；

　(3)由题意，得， 所以

，

又，解得0＜h₁＜

∴当0＜h₁＜时，S随h₁的增大而减小；

　 当h₁=时，S取得最小值；

当＜h₁＜时，S随h₁的增大而增大.

1. (2011浙江省舟山，23，10分)以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

(1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状(不要求证明)；

(2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=(0°＜＜90°)，

① 试用含的代数式表示∠HAE；

② 求证：HE=HG；

③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

[答案](1)四边形EFGH是正方形．

　　(2) ①∠HAE=90°+a．

在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；

∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－(180°－a)＝90°+a．

②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，

在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，

∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD+∠ADC+∠CDG＝90°+a＝∠HAE．

∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．

③四边形EFGH是正方形．

由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG(已证)，∴GH=GF=FG=FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG(已证)，∴∠DHG=∠AHE，又∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．

24.

23.

22. (2010湖北孝感，16，3分)已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是　　　　 .

[答案]15°或75°

21. (2011河北，14，3分)如图6，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=__．　　　

[答案]5