已知a_n是关于x的方程xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1=0（x＞0，n∈N且n≥2）的根，
证明：（Ⅰ）

1

2

＜an+1＜an＜1； 
（Ⅱ）an＜(

1

2

)n+

1

2

．

数列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2时，an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

．数列{b_n}满足：bn=3n-1(an+1)(n∈N*)．
（1）证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）记数列{

an+1

n

}的前n项和为S_n，若不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立（m，n为正整数）．求出所有符合条件的有序实数对（m，n）．

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-

1

3

x2ⁿ}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

已知数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N⁺，n≥2），且a₁=5若bn=

1

3n

（a_n+t）（n∈N₊）且{b_n}为等差数列，则t=．

已知等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d为整数，且满足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S₂为S₁，S_m （m∈N^*）的等比中项，求正整数m的值．
（3）对任意正整数k，将等差数列{a_n}中落入区间（2^k，2^2k）内项的个数记为c_k，求数列{c_n}的前n项
和T_n．

已知数列{a_n}是一个等差数列，且a₂=1，a₅=-5．
（1）求{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n；
（2）设C_n=

5-an

2

，b_n=2 cn求数列{b_n}的前n项和T_n．

设等比数列{a_n}的首项a1=

1

2

，前n项和为S_n，且210S30-(210+1)S20+S10=0，且数列{a_n}各项均正．
（1）求{a_n}的通项； 
（2）求{nS_n}的前n项和T_n．

已知等差数列{a_n}，公差d不为零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，试求数列{|b_n|}的前n项和S_n．

已知数列{a_n}、{b_n}中，对任何正整数n都有：．a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3
（1）若数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由．