Question

已知等差数列{a_n}，公差d不为零，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）首先根据a₁和d，求出a₂、a₅、a₁₄再根据a₂、a₅、a₁₄是等比数列，求出数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）求出数列{b_n}的通项公式，然后根据数列通项公式的特点选用裂项求和法进行求和即可．

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，且a₂、a₅、a₁₄成等比数列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）即d=2或0（舍去）
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1；
（2）由（1）可得bn=

1

(2n-1)•(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等比数列的性质，以及等差数列的通项公式的求法，对于复杂数列的前n项和求法我们一般先求出数列的通项公式，再依据数列的特点采取具体的方法．属于中档题．