Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-

1

3

x2ⁿ}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，整理变形可得数列{a_n-

1

3

x2ⁿ}是等比数列；
（Ⅱ）确定数列的通项，分组求和，可得结论；

解答：解：（Ⅰ）∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0，（n∈N^*）的两根，∴a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-

1

3

•2n+1=-（a_n-

1

3

•2ⁿ），即

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=-1，
∴{a_n-

1

3

•2n}是等比数列，又a1-

2

3

=

1

3

，q=-1，
∴a_n-

1

3

•2n=

1

3

（-1）^n-1，∴a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]；
（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

3

{（2+2²+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=

1

3

{

2(1-2n)

1-2

-

(-1)[1-(-1)n]

1+1

}
=

1

3

[2ⁿ⁺¹-2-

-1+(-1)n

2

]=

2n+1 3 - 2 3 (n为偶数) 2n+1 3 - 1 3 (n为奇数)

．

点评：本题主要考查等比关系的确定、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．