Question

数列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2时，an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

．数列{b_n}满足：bn=3n-1(an+1)(n∈N*)．
（1）证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）记数列{

an+1

n

}的前n项和为S_n，若不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立（m，n为正整数）．求出所有符合条件的有序实数对（m，n）．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的定义只需证明n≥2时，b_n-b_n-1是常数，利用等差数列的通项公式可求得b_n；
（2）由bn=3n-1(an+1)=2n，可得

an+1

n

，从而可求S_n，再由

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

可得m值，进而可求得n值；

解答：解：（1）n≥2时，bn-bn-1=3n-1(an+1)-3n-2(an-1+1)，
代入an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

，
整理得bn-bn-1=3n-1(

1

3

an-1+

2

3n-1

+

1

3

)-3n-2(an-1+1)=2，
故{b_n}是公差为2的等差数列．
又b₁=a₁+1=2，∴b_n=2+（n-1）×2=2n；   
（2）由（Ⅰ）得，bn=3n-1(an+1)=2n，
故

an+1

n

=

2

3n-1

，可知{

an+1

n

}为等比数列，
∴Sn=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3(1-

1

3n

)，
则

Sn-m

Sn+1-m

=

3-m- 1 3n-1

3-m- 1 3n

=1-

1 3n-1 - 1 3n

3-m- 1 3n

=1-

2

(3-m)3n-1

，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

=1-

1

3m+1

，
得

2

(3-m)3n-1

＞

1

3m+1

，
∵（3-m）3ⁿ-1＞0，m∈N^*∴m=1，2，
当m=1时，

2

2•3n-1

＞

1

4

⇒n=1；
当m=2时，

2

3n-1

＞

1

10

⇒n=1，2，
综上，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：（1，1），（2，1），（2，2）．

点评：本题考查由递推式求数列通项、等差关系的确定、数列与不等式的综合，考查学生分析问题解决问题的能力．