Question

已知等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d为整数，且满足a₁+3＜a₃，a₂+5＞a₄，数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

，其前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S₂为S₁，S_m （m∈N^*）的等比中项，求正整数m的值．
（3）对任意正整数k，将等差数列{a_n}中落入区间（2^k，2^2k）内项的个数记为c_k，求数列{c_n}的前n项
和T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，可得到关于首项a₁与公差d的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=

1

an•an+1

知，利用裂项法可求得b_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），继而可得S_n=

n

2n+1

，于是由S₂为S₁，S_m （m∈N^*）的等比中项，即可求得正整数m的值；
（3）依题意知，c_k=2^2k-1-2^k-1，利用分组求和即可求得数列{c_n}的前n项．

解答：解：（1）由题意，得

a1+3＜a1+2d a1+d+5＞a1+3d

解得

3

2

＜d＜

5

2

．
又d∈Z，
∴d=2．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

，
∵S₁=

1

3

，S₂=

2

5

，S_m=

m

2m+1

，S₂为S₁，S_m（m∈N^*）的等比中项，
∴

S

2 2

=S_mS₁，
即(

2

5

)2=

1

3

•

m

2m+1

，
解得m=12．
（3）对任意正整数k，2^k＜2n-1＜2^2k，则2^k-1+

1

2

＜n＜2^2k-1+

1

2

，
而k∈N^*，由题意可知c_k=2^2k-1-2^k-1，
于是T_n=c₁+c₂+…+c_n=（2¹+2³+…+2^2n-1）-（2⁰+2¹+…+2^n-1）
=

2-22n+1

1-22

-

1-2n

1-2

=

22n+1-2

3

-（2ⁿ-1）
=

22n+1-3•2n+1

3

，
即T_n=

22n+1-3•2n+1

3

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式的应用，考查裂项法与分组求和的综合应用，属于难题．