Question

设等比数列{a_n}的首项a1=

1

2

，前n项和为S_n，且210S30-(210+1)S20+S10=0，且数列{a_n}各项均正．
（1）求{a_n}的通项； 
（2）求{nS_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可求公比q，然后代入等比数列的通项公式可求
（2）利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和即可求解

解答：解：（1）∵210S30-(210+1)S20+S10=0
∴2¹⁰（S₃₀-S₂₀）=S₂₀-S₁₀
∴q=

1

2

∵a1=

1

2

∴an=

1

2n

（2）Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∴nSn=n-

n

2n

令H_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，

1

2

Hn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

两式相减可得，

1

2

Hn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴Hn=2-

2

2n

-

n

2n

而1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

∴Tn=

n(n+1)

2

+

1

2n-1

+

n

2n

-2．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解 数列的通项公式及数列求和的错位相减求和方法的应用