设椭圆 C₁：（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线 C₂：x²=4y的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值。

过椭圆2x²+y²=2的一个焦点作直线交椭圆于P，Q两点，求△POQ面积S的最大值。

已知椭圆及直线l：y=x+m。
（1）当直线l与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）求直线l被椭圆截得的弦长的最大值。

已知点F₁，F₂分别为椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F₂的距离的最大值为+1，且△PF₁F₂的最大面积为1。
（1）求椭圆C的方程。
（2）点M的坐标为，过点F₂且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点。对于任意的k∈R，是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。 

椭圆的两个焦点分别为F₁（0，-2），F₂（0，2），离心率e=。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN中点的横坐标为-，求直线l倾斜角的取值范围。

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且离心率为，Q为椭圆C的左顶点。
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点（，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点。
（ⅰ）若直线了l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由。

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，），点F₂在线段PF₁的中垂线上，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，试问直线l是否过定点？若过，求该定点的坐标。

已知椭圆E：的左焦点F₁（，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F。
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。

已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围。

已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点F（-2，0）。
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值。