Question

已知椭圆E：的左焦点F₁（，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF₁相切于线段DF₁的中点F。
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。

Answer 1

解：（Ⅰ）连接（O为坐标原点，为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为，
因为FO是的中位线，且，
所以，
所以，
故，
在中，，
即，
又，
解得，
所求椭圆的方程为。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：，
设直线l的方程为y=k（x+2）并代入，
整理得：，
由得：，
设，
则由中点坐标公式得：，
①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆的两个顶点；
②当时，则，直线的方程为，
此时直线显然不能过椭圆的两个顶点；
若直线过椭圆的顶点，
则，即，
所以，解得：（舍去）；
若直线过椭圆的顶点，
则，即，
所以，解得：（舍去）；
综上，当或或时， 直线过椭圆的顶点。
（Ⅲ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为，
根据题意可设，则，
则直线的方程为，…①
过点P且与AP垂直的直线方程为，…②
①×②并整理得：，
又P在椭圆W上，
所以，所以，
即①、②两直线的交点B在椭圆W上，
所以PA⊥PB。