题目内容
已知椭圆C：
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆
有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围。
（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B，（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围。
解：（1）∵焦距为4，
∴ c=2，
又∵
的离心率为
，
∴
，
∴a=
，b=2，
∴标准方程为
。
（2）设直线l方程：y=kx+1，
A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得
，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，
∴
＜0，
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0， ∴
，
∴k＜
，
经检验得k＜
时，直线l与椭圆相交，
∴直线l的斜率k的范围为（-∞，
）。
∴ c=2，
又∵
的离心率为， ∴
，∴a=
，b=2， ∴标准方程为
。 （2）设直线l方程：y=kx+1，
A（x1，y1），B（x2，y2），
由
得， ∴x1+x2=
，x1x2=，由（1）知右焦点F坐标为（2，0），
∵右焦点F在圆内部，
∴
＜0， ∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，
即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0， ∴
， ∴k＜
，经检验得k＜
时，直线l与椭圆相交，∴直线l的斜率k的范围为（-∞，
）。 
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．
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．
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+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
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，0)求实数k的取值范围。
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若
。则
（ ） 
（D）