Question

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且离心率为，Q为椭圆C的左顶点。
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点（，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点。
（ⅰ）若直线了l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，
且，
由题意可知：，
所以，
所以，椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0），
设，
（ⅰ）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为，
由
解得：或
即（不妨设点A在x轴上方），
则直线AQ的斜率，直线BQ的斜率，
因为，
所以，
所以；
（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为，
由消去y得：，
因为点在椭圆C的内部，显然，

因为，
所以



所以，
所以为直角三角形，
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则，
取AB的中点M，连接QM，则，
记点为N，
另一方面，点M的横坐标，
所以点M的纵坐标，
所以

所以与不垂直，矛盾，
所以当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形。