复数为纯虚数，若（为虚数单位），则实数的值为 ．

已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为 ．

在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离不大于的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 ．

已知集合（，），若数列是等差数列，记集合的元素个数为，则关于的表达式为 ．

（本小题满分13分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；

（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，求边长的值．

（本小题满分13分）根据新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．

（1）求的值；

（2）根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；

（3）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为，求的分布列和数学期望．

（本小题满分13分）如图1，在中，，，，、分别为、的中点，连接并延长交于，将沿折起，使平面平面，如图2所示．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指出点的位置；若不存在，说明理由．

（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，

求，满足的关系式；

如图，、为椭圆的左、右焦点，作，，垂足分别为、，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

（本小题满分14分）已知函数（）．

（1）若为函数的极值点，求的值；

（2）若，

已知，，若直线、及直线与函数的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示，求阴影面积关于的函数的最小值；

证明不等式：．

（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵．

（1）矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程；

（2）求的逆矩阵．