Question

（本小题满分13分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，

求，满足的关系式；

如图，、为椭圆的左、右焦点，作，，垂足分别为、，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），（2），（3），

【解析】

试题分析：先利用短半轴和离心率求出椭圆的标准方程，然后把直线和椭圆方程联立方程组消去得关于

的一元二次方程，由于直线与椭圆只有一个公共点，因此判别式为零，求出，满足的关系式；最后一步分别求出两焦点到直线的距离，利用和直线的斜率表示的长，从而写出梯形的面积，利用进行减元，用表示面积，最后根据，求出面积的最大值即可；

试题解析：(1)设椭圆的方程，，，所以椭圆C的方程为.

(2)(ⅰ)将直线的方程代入椭圆方程中得;

,由于直线与椭圆C仅有一个公共点知：

，化简得：.

(ⅱ)设，当时，设直线的倾斜角为，则

，

，当时，

，又当时，四边形为矩形，，所以四边形面积的最大

值为.

考点：直线与椭圆问题