Question

（本小题满分14分）已知函数（）．

（1）若为函数的极值点，求的值；

（2）若，

已知，，若直线、及直线与函数的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示，求阴影面积关于的函数的最小值；

证明不等式：．

Answer 1

（1），（2）（ⅰ），（ⅱ）证明见解析，

【解析】

试题分析：首先利用为极值点，则，求出；由于与的交点为，所以封闭图形的面积可用两个积分的和求出，设面积为对求导研究函数的单调性求出最小值；最后把求出的面积最小值代入所证不等式整理分析，把看成未知数构造函数，对求导，研究函数的单调性，就可以证明出本题结论；

试题解析：（1），

，又为极值点，，经检验符合题意，所以；

（2）（ⅰ）

，设

所以，又，所以当时，

单调递减；当时，单调递增；当时，

，

(ⅱ)要证明，

令，

，则在递减，又

，；

考点：导数的应用