设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．

直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的

3

2

，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（5+

2

）π，求这个旋转体的体积．

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．求：
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax-y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

某学校教学实验楼有两部电梯，每位教师选择哪部电梯到实验室的概率都是

1

2

，且相互独立，现有3位教师准备乘电梯到实验室．
（Ⅰ）求3位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率；
（Ⅱ）若记3位教师中乘第一部电梯到实验室的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

已知函数f(x)=x+

2

x

的定义域为（0，+∞）．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：|PM||PN|是定值；
（2）判断并说明|PM|+|PN|有最大值还是最小值，并求出此最大值或最小值．

过点P（4，5）引圆（x-2）²+y²=4的切线，求切线方程．

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），圆C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（Ⅰ）证明：直线l与圆C相交；
（Ⅱ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

设数列{a_n}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

log 1 2 an

，cn=bnbn+1，记S_n=c₁+c₂+…+c_n，证明：S_n＜1．

已知tanα=

4

3

，α为第三象限角，求

sin(α-π)cos(2π-α)sin(-α+ 3π 2 )

cos(π-α)sin(π-α)

的值．

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=（k+1）S_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求实数k的值；
（2）求证：数列{a_n}是等比数列．