Question

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．求：
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线ax-y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；
（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．

解答： 解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，所以，

|4m-29|

5

=5，
即|4m-29|=25．
因为m为整数，故m=1．
故所求的圆的方程是（x-1）²+y²=25．
（Ⅱ）直线ax-y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得
（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．
由于直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即12a²-5a＞0，解得 a＜0，或a＞

5

12

．
所以实数a的取值范围是(-∞，0)∪(

5

12

，+∞)．
（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，
由（2）得a≠0，则直线l的斜率为-

1

a

，
l的方程为y=-

1

a

(x+2)+4，
即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2-4a=0，解得a=

3

4

．
由于

3

4

∈(

5

12

，+∞)，
故存在实数a=

3

4

，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．

点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．