Question

设数列{a_n}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

log 1 2 an

，cn=bnbn+1，记S_n=c₁+c₂+…+c_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用数列前n项和与通项公式的关系即可得出通项公式；
（2）利用对数的运算法则和“裂项求和”即可得出．

解答： （1）解：∵数列{a_n}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N^*．
∴当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

．
∴2n-1an=

1

2

，即an=

1

2n

．
当n=1时，a1=

1

2

也成立．
故an=

1

2n

．（n∈N^*）．
（2）证明：∵bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 1 2n

=

1

n

，∴cn=bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∴S_n＜1．

点评：本题考查了数列前n项和与通项公式的关系、对数的运算法则和“裂项求和”方法，属于中档题．