Question

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），圆C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（Ⅰ）证明：直线l与圆C相交；
（Ⅱ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置故选即可判断直线l与圆C相交；
（Ⅱ）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出直线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
由

2x+y-7=0 x+y-4=0

，得

x=3 y=1

，所以直线l恒过定点P（3，1），…（2分）
又|PC|=

5

＜5，故P点在圆C内部，所以直线l与圆C相交；…（4分）
（Ⅱ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k_l•k_PC=-1，…（6分）
而kl=-

2m+1

m+1

，kPC=-

1

2

，于是

2m+1

2(m+1)

=-1，解得m=-

3

4

．…（8分）

点评：本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，函数与方程的思想的应用，考查计算能力．