Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=（k+1）S_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求实数k的值；
（2）求证：数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n+1=（k+1）S_n+2，先求出a₁+a₂=（k+1）a₁+2，再由a₁=2，a₂=1，能求出k的值．
（2）由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2，由此能求出an+1=

1

2

an(n≥2)，从而能证明数列{a_n}是的等比数列．

解答： 解：（1）∵S_n+1=（k+1）S_n+2，
∴S₂=（k+1）S₁+2，
∴a₁+a₂=（k+1）a₁+2．…（3分）
又∵a₁=2，a₂=1，
∴2+1=2（k+1）+2，
∴k=-

1

2

．…（6分）
（2）证明：由（1）知Sn+1=

1

2

Sn+2①
当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2②
①-②得an+1=

1

2

an(n≥2)．…（9分）
又∵a2=

1

2

a1，且a_n≠0（n∈N^*），
∴

an+1

an

=

1

2

(n∈N*)，
∴数列{a_n}是公比为

1

2

的等比数列．…（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，是中档题．