题目内容
已知函数f(x)=x+
的定义域为（0，+∞）．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求证：|PM||PN|是定值；
（2）判断并说明|PM|+|PN|有最大值还是最小值，并求出此最大值或最小值．
| ||
| x |
（1）求证：|PM||PN|是定值；
（2）判断并说明|PM|+|PN|有最大值还是最小值，并求出此最大值或最小值．
考点：点到直线的距离公式
专题：直线与圆
分析：（1）设点P的坐标为（x0，y0），由已知条件得到y0=x0+
，由点到直线的距离公式分别求出|PM|，|PN|，由此能证明|PM||PN|为定值．
（2）由（1）结合题设条件，利用均值定理能求出）|PM|+|PN|有最小值2．
| ||
| x0 |
（2）由（1）结合题设条件，利用均值定理能求出）|PM|+|PN|有最小值2．
解答：
解：（1）证明：设点P的坐标为（x0，y0），
∵函数f(x)=x+
的定义域为（0，+∞）．设点P是函数图象上的任意一点，
∴y0=x0+
，x0＞0，…（2分）
由点到直线的距离公式知|PM|=
=
，|PN|=x0，…（4分）
∴|PM||PN|=1，即|PM||PN|为定值，这个值为1．…（6分）
（2）|PM|+|PN|有最小值，且最小值为2．…（7分）
∵由（1）知|PM|＞0，|PN|＞0，|PM||PN|=1，…（8分）
∴|PM|+|PN|≥2
=2，…（10分）
当且仅当|PM|=|PN|=1，P点在P(1，1+
)时，
|PM|+|PN|有最小值2．…（12分）
∵函数f(x)=x+
| ||
| x |
∴y0=x0+
| ||
| x0 |
由点到直线的距离公式知|PM|=
| |x0-y0| | ||
|
| 1 |
| x0 |
∴|PM||PN|=1，即|PM||PN|为定值，这个值为1．…（6分）
（2）|PM|+|PN|有最小值，且最小值为2．…（7分）
∵由（1）知|PM|＞0，|PN|＞0，|PM||PN|=1，…（8分）
∴|PM|+|PN|≥2
| |PM||PN| |
当且仅当|PM|=|PN|=1，P点在P(1，1+
| 2 |
|PM|+|PN|有最小值2．…（12分）
点评：本题考查两条线段的乘积为定值的证明，考查两条线段和的最小值的求法，解题时要熟练掌握点到直线的距离公式和均值定理的灵活运用，是中档题．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
，则f（f（-π））的值等于（ ）
|
|
| A、π2-1或0 |
| B、π2-1 |
| C、0 |
| D、-π |
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