题目内容
设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：（1）求出原函数的导函数，根据f（x）在x=3处取得极值，得到f′（3）=0，由此求得a的值，则函数f（x）的解析式可求；
（2）由（1）得到f′（x）=6x2-24x+18，求得f′（1）=0，∴f（x）在点A（1，16）处的切线方程可求．
（2）由（1）得到f′（x）=6x2-24x+18，求得f′（1）=0，∴f（x）在点A（1，16）处的切线方程可求．
解答：
解：（1）∵f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，
∴f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a，
又∵f（x）在x=3处取得极值，
∴f′（3）=6×9-6（a+1）×3+6a=0，解得a=3．
∴f（x）=2x3-12x2+18x+8；
（2）A（1，16）在f（x）上，
由（1）可知f′（x）=6x2-24x+18，
f′（1）=6-24+18=0，
∴切线方程为y=16．
∴f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a，
又∵f（x）在x=3处取得极值，
∴f′（3）=6×9-6（a+1）×3+6a=0，解得a=3．
∴f（x）=2x3-12x2+18x+8；
（2）A（1，16）在f（x）上，
由（1）可知f′（x）=6x2-24x+18，
f′（1）=6-24+18=0，
∴切线方程为y=16．
点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题需注意的是，函数极值点处的导数等于0，但导数为0的点不一定是极值点，是中档题．
练习册系列答案
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