甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是

1

3

，第3次投中的概率

1

2

；乙每次投中的概率都是

2

5

，甲乙每次投中与否相互独立．
（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；
（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．

已知椭圆C₁的一个焦点为（0，-

3

），且椭圆经过点（

1

2

，

3

）．开口向上的抛物线C₂的焦点到准线的距离为2，C₁的中心和C₂的顶点均为坐标原点O．
（1）求C₁和C₂的标准方程；
（2）A、B为抛物线C₂上的点，分别过A、B作抛物线C₂的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在其准线上．
    ①直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由；
    ②指出点Q与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

求函数z=1-

1-x2 4-x

的值域．

已知抛物线C：x²=2py过点P(1，

1

2

)，直线l交C于A，B两点，过点P且平行于y轴的直线分别与直线l和x轴相交于点M，N．
（1）求p的值；
（2）是否存在定点Q，当直线l过点Q时，△PAM与△PBN的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=x²+2x+a，
（1）当a=-2时，求不等式f（x）＞1的解集
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a∈R），其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若f（x）≥0对任意x≥0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证：当n≥2，n∈N时，恒有1n+4n+7n+…+(3n-2)n＜

e 1 3

e-1

(3n)n．

若数列{a_n}的每一项都不等于零，且对于任意的n∈N^*，都有

an+2

an

=q（q为常数），则称数列{a_n}为“类等比数列”．已知数列{b_n}满足：b₁=b（b＞0），对于任意的n∈N^*，都有b_n•b_n+1=-9×2^8-n．
（1）求证：数列{b_n}是“类等比数列”；
（2）若{|b_n|}是单调递减数列，求实数b的取值范围；
（3）若b=2，求数列{b_n}的前n项之积取最大值时n的值．

设f（x）=ax²+2bx+c，若5a+4b+c=0，f（-1）•f（1）＜0，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求证：方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，且

4

3

＜x₁+x₂＜4；
（2）若c=0，a_n＞0，且互不相等正整数p，q，n，使得p+q=2n，求证：S_pS_q＜S_n²．

如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接AC，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（Ⅰ）证明：∠AOC=2∠ACD；
（Ⅱ）证明：AB•CD=AC•CE．

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，直线l：y=x+m与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数m，使

OP

•

OQ

=0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．