Question

设f（x）=ax²+2bx+c，若5a+4b+c=0，f（-1）•f（1）＜0，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求证：方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，且

4

3

＜x₁+x₂＜4；
（2）若c=0，a_n＞0，且互不相等正整数p，q，n，使得p+q=2n，求证：S_pS_q＜S_n²．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知中f（-1）•f（1）＜0，先证明a≠0，再证明方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，进而综合韦达定理及二次不等式的解法，可证得方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，且

4

3

＜x₁+x₂＜4；
（2）若c=0，可得数列{a_n}为等差数列，进而利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，可证得S_pS_q＜S_n²．

解答： 证明：（1）∵f（x）=ax²+2bx+c，f（-1）•f（1）＜0，5a+4b+c=0，
即（a-2b+c）（a+2b+c）=4（2a+3b）（2a+b）＜0
故a≠0
∵f（2）=4a+4b+c=-a，
若a＞0，则函数f（x）图象开口朝上，此时f（2）＜0
若a＜0，则函数f（x）图象开口朝下，此时f（2）＞0
故函数f（x）必有两个零点
即方程f（x）=0必有两个不等实根x₁、x₂，
又由f（-1）•f（1）＜0，即4（2a+3b）（2a+b）＜0得
（

b

a

+2）（3•

b

a

+2）＜0，
∴-2＜

b

a

＜-

2

3

，
∴

4

3

＜x₁+x₂=-2•

b

a

＜4；
（2）∵c=0，
∴S_n=ax²+2bx
∴数列{a_n}为等差数列
又∵p+q=2n，
∴S_pS_q=

1

2

p（a₁+a_p）•

1

2

p（a₁+a_q）
=

1

4

pq•[a₁²+a₁（a_p+a_q）+a_pa_q]
=

1

4

pq•[a₁²+2a₁a_n+a_pa_q]
＜

1

4

（

p+q

2

）²•[a₁²+2a₁a_n+（

ap+aq

2

）²]
=

1

4

n²•[a₁²+2a₁a_n+a_n²]
=[

1

2

（a₁+a_n）]²=S_n²．
即S_pS_q＜S_n²．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次不等式的解法，等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，是函数，不等式，数列的综合应用，难度较大．