题目内容
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，直线l：y=x+m与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数m，使
•
=0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数m，使
| OP |
| OQ |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由题设条件2b=2c，即b=c，b2=4，a2=b2+c2=8，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
，得3x2+4mx+2m2-8=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出存在常数m，使
•
=0．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
|
| OP |
| OQ |
解答：
解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，
∴2b=2c，即b=c，
正方形的面积=b2+c2=2b2=8，
∴b2=4，a2=b2+c2=8，
∴椭圆方程为
+
=1．
（Ⅱ）∵y=x+m与轨迹C交于不同的两点P和Q，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴
，消去y，并整理，得：
3x2+4mx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-
，x1x2=
，
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）
=x1x2+m（x1+x2）+m2
=
，
∵
•
=0，
∴x1x2+y1y2=
+
=0，
解得m=±
．
△=16m2-24m2+96＞0．
解得-2
＜m＜2
，
∴m=±
满足条件．
∴存在常数m，使
•
=0，m=±
．
以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，
∴2b=2c，即b=c，
正方形的面积=b2+c2=2b2=8，
∴b2=4，a2=b2+c2=8，
∴椭圆方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）∵y=x+m与轨迹C交于不同的两点P和Q，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴
|
3x2+4mx+2m2-8=0，
∴x1+x2=-
| 4m |
| 3 |
| 2m2-8 |
| 3 |
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）
=x1x2+m（x1+x2）+m2
=
| m2-8 |
| 3 |
∵
| OP |
| OQ |
∴x1x2+y1y2=
| 2m2-8 |
| 3 |
| m2-8 |
| 3 |
解得m=±
4
| ||
| 3 |
△=16m2-24m2+96＞0．
解得-2
| 3 |
| 3 |
∴m=±
4
| ||
| 3 |
∴存在常数m，使
| OP |
| OQ |
4
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查使数量积为0的常数值是否存在的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①若a，b∈R+，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；
②若a，b，c∈R，则a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
③若a＞0，b＞0，a+b=2，则
+
≤
；
④若
，则
；
⑤函数y=
的最小值等于2．
其中正确命题的个数为（ ）
①若a，b∈R+，a≠b，则a3+b3＞a2b+ab2；
②若a，b，c∈R，则a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
③若a＞0，b＞0，a+b=2，则
| a |
| b |
| 2 |
④若
|
|
⑤函数y=
| x2+2014 | ||
|
其中正确命题的个数为（ ）
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
若直线x-y+2=0与圆C：（x-3）2+（y-3）2=4相交于A、B两点，则
•
的值为（ ）
| CA |
| CB |
| A、-1 | B、0 | C、1 | D、6 |
已知椭圆C1：