题目内容

已知椭圆C1的一个焦点为（0，-
3
），且椭圆经过点（
1
2
，
3
）．开口向上的抛物线C2的焦点到准线的距离为2，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O．
（1）求C1和C2的标准方程；
（2）A、B为抛物线C2上的点，分别过A、B作抛物线C2的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在其准线上．
    ①直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由；
    ②指出点Q与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件设椭圆C1的方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1，并利用椭圆的定义求出a=2，再由c=
3
，能求出椭圆C1的方程；设抛物线C2的方程为x2=2py，由抛物线的定义求出p=2，由此能求出抛物线C2的方程．
（2）①设A(x1，
x12
4
)，B(x2，
x22
4
)，利用导数求出过点A的切线AQ的方程，求出过点B的切线BQ的方程，由此求出直线AB的方程，从而能够证明直线AB过定点（0，1）．
②利用已知条件求出
QA
•
QB
=0，由此得到QA⊥QB，从而推导出点Q在以线段AB为直径的圆上．
解答： （本小题满分14分）
解：（1）∵椭圆C1的一个焦点为（0，-
3
），且椭圆经过点（
1
2
，
3
）
∴设椭圆C1的方程为
y2
a2
+
x2
b2
=1，c=
3
，
∴2a=
(
1
2
-0)2+(
3
-
3
)2
+
(
1
2
-0)2+(
3
+
3
)2
=
1
2
+
7
2
=4，
∴a=2．…（1分）
又∵c=
3
，∴b=
22-(
3
)2
=1，
∴椭圆C1的方程为
y2
4
+x2=1．…（2分）
∵抛物线C2的开口向上，
∴抛物线C2的方程为x2=2py．
∵抛物线C2的焦点到准线的距离为2，∴p=2，…（3分）
∴抛物线C2的方程为x2=4y．…（4分）
（2）①解：设A(x1，
x12
4
)，B(x2，
x22
4
)．
由x2=4y得：y=
1
4
x2，∴y′=
1
2
x，
∴过点A的切线AQ的方程为y-
x
2
1
4
=
x1
2
(x-x1)，
即y=
x1
2
x-
x
2
1
4
．…（5分）
同理过点B的切线BQ的方程为y-
x
2
2
4
=
x2
2
(x-x2)，
即y=
x2
2
x-
x
2
2
4
．…（6分）
于是得交点Q(
x1+x2
2
，
x1x2
4
)．…（7分）
∵点Q恰好在准线y=-1上，∴x1x2=-4．…（8分）
又kAB=
x12
4
-
x22
4
x1-x2
=
x1+x2
4
，
∴直线AB的方程为y-
x12
4
=
x1+x2
4
(x-x 1)，
化简得y=
x1+x2
4
x-
x1x2
4
，即y=
x1+x2
4
x+1，…（9分）
∴直线AB过定点（0，1）．…（10分）
②∵Q(
x1+x2
2
，-1)，∴
QA
=(
x1-x2
2
，
x12
4
+1)，
QB
=(
x2-x1
2
，
x22
4
+1)，（11分）
∴
QA
•
QB
=-
(x1-x2)2
4
+(
x
2
1
4
+1)(
x
2
2
4
+1)
=
x
2
1
x
2
2
16
+
x1x2
2
+1=1-2+1=0．…（13分）
∴QA⊥QB，
∴点Q在以线段AB为直径的圆上．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查点与圆与的位置关系，解题时要注意直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用．
练习册系列答案
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设二元一次不等式组
x-y+8≥0
2x+y-14≤0
x+2y-19≥0
所表示的平面区域为M，使函数y=ax2的图象过区域M的a的取值范围是（　　）
A、[
8
9
，
5
2
]
B、[
5
2
，9]
C、（-∞，9）
D、[
8
9
，9]
如图，正方形CDEF内接于椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ的顶点G，H在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边EF上．且CD=2PQ=
4
10
5
．
（1）求椭圆的方程；
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3
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3
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OA
⊥
OB
？此时|
AB
|的值是多少？
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an+2
an
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1
2
） -x2-2x+3．
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．

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