Question

甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是

1

3

，第3次投中的概率

1

2

；乙每次投中的概率都是

2

5

，甲乙每次投中与否相互独立．
（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；
（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）设事件A_i表示“乙第i次投中”，由已条件知P（A_i）=

2

5

，（i=1，2，3），由P（乙直到第3次才投中）=P（

.

A1

.

A2

A3），能求出乙直到第3次才投中的概率．
（2）设乙投中的次数为η，由η～B（3，

2

5

），求出Eη=3×

2

5

=

6

5

．设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，求出Eξ，由Eη＞Eξ，推导出在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙

解答： 解：（1）设事件A_i表示“乙第i次投中”，（i=1，2，3）
则P（A_i）=

2

5

，（i=1，2，3），
事件A₁，A₂，A₃相互独立，
P（乙直到第3次才投中）=P（

.

A1

.

A2

A3）
=（1-

2

5

）•（1-

2

5

）•

2

5

=

18

125

．
（2）设乙投中的次数为η，则η～B（3，

2

5

），
∴乙投中次数的数学期望Eη=3×

2

5

=

6

5

．
设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，
∵甲前2次每次投中的概率都是

1

3

，第3次投中的概率

1

2

，
∴甲前2次投中次数股从二项分布B（2，

1

3

），且每次投中与否相互独立，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）•（1-

1

3

）•（1-

1

2

）=

2

9

，
P（ξ=1）=

C

1 2

•

1

3

•(1-

1

3

)•(1-

1

2

)+

C

2 2

(1-

1

3

)2•

1

2

=

4

9

，
P（ξ=2）=

C

2 2

(

1

3

)2•(1-

1

2

)+

C

1 2

•

1

3

•(1-

1

3

)•

1

2

=

5

18

，
P（ξ=3）=

C

2 2

•(

1

3

)2•

1

2

=

1

18

，
∴甲投中次数的数学期望Eξ=0×

2

9

+1×

4

9

+2×

5

18

+3×

1

18

=

7

6

，
∴Eη＞Eξ，∴在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，在历年高考中都是必考题型．