椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，右焦点到直线x+y+

6

=0的距离为2

3

．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 过点M（0，-1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足

NA

=-

7

5

NB

，求直线l的方程．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），经过点P（

3

，

1

2

），离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点Q（0，

1

2

）的直线与椭圆交于A、B两点，与直线y=2交于点M（直线AB不经过P点），记PA、PB、PM的斜率分别为k₁、k₂、k₃，问：是否存在常数λ，使得

1

k1

+

1

k2

=

λ

k3

？若存在，求出λ的值：若不存在，请说明理由．

某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人）

组号	第一组	第二组	第三组	第四组	第五组	第六组	第七组	第八组	合计
分组	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
频数	2	2	4	6	15	a	14	3	c
频率	0.04	0.04	0.08	b	0.3	0.08	0.28	0.06	1

（Ⅰ）求a，b，c的值，并估计该校本次考试的数学平均分；
（Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从前四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率．

已知A、B是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右顶点，椭圆上异于A、B的两点C、D和x轴上一点P，满足

AP

=

1

3

AD

+

2

3

AC

．
（1）设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，求证：S₁S₃=S₂S₄；
（2）设P点的横坐标为x₀，求x₀的取值范围．

在△ABC中，AB=2

5

，AC=3，sinC=2sinA．
（Ⅰ）求△ABC的面积S；
（Ⅱ）求cos（2A+

2π

3

）的值．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），已知点（1，e）和（e，

3

2

）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，若|AF₁|-|BF₂|=

6

2

，求直线AF的斜率．

已知f(x)=

4x

3x2+3

(x∈(0，2))，g(x)=

1

2

x2-lnx-a．
（1）求f（x）的值域；
（2）若?x∈[1，2]使得g（x）=0，求a的取值范围；
（3）对?x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）=g（x₂），求a的取值范围．

已知函数f（x），当x＞0时，f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）若x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（3）试证明：ln（n+1）＞n-2 （

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）（n∈N^*）

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在区间[e，e²]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”．已知函数f1(x)=(a-

1

2

)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，求a的取值范围．

已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=2^x-1，若存在x₁∈（0，+∞），对于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范围．