Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），已知点（1，e）和（e，

3

2

）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，若|AF₁|-|BF₂|=

6

2

，求直线AF的斜率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，

3

2

），都在椭圆上列式求解．
（2）设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF₁|、|BF₂|，根据已知条件AF₁-BF₂=

6

2

，用待定系数法求解

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
点（1，e）和（e，

3

2

）都在椭圆上，
∴

1 a2 + e2 b2 =1 e2 a2 + 3 4b2 =1

，
∵e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，
∴

1

a2

+

e2

b2

=

1

a2

+

1- b2 a2

b2

=

1

a2

+

1

b2

-

1

a2

=1，解得b²=1，

∵

e2

a2

+

3

4b2

=

a2-b2

a4

+

3

4b2

=1，
∴a⁴-4a²+4=（a²-2）=0，解得a²=2，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）∵椭圆方程为

x2

2

+y2=1，∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，得（m²+2）y12-2my₁-1=0．
∴y1 =

m+ 2m2+2

m2+2

，或y1=

m- 2m2+2

m2+2

（舍），
∴|AF₁|=

m2+1

×|0-y1|=

2 (m2+1)+m m2+1

m2+2

，①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)-m m2+1

m2+2

，②
∵|AF₁|-|BF₂|=

6

2

，
∴由①②得|AF₁|-|BF₂|=

2m m2+1

m2+2

=

6

2

，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=

2

．
∴直线AF₁的斜率为

1

m

=

2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．