Question

已知函数f（x），当x＞0时，f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）若x≥1时，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（3）试证明：ln（n+1）＞n-2 （

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）（n∈N^*）

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，确定（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得函数f（x）在x=1处取得唯一的极值，利用函数f（x）在区间（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）当x≥1时，f（x）≥

k

x+1

恒成立，等价于

1+lnx

x

≥

k

x+1

恒成立，分离参数可得k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，求出右边函数的最小值，即可求实数k的取值范围；
（3）先证明lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

，再令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），即可证明结论．

解答： （1）解：当x＞0时，f(x)=

1+lnx

x

，有f′（x）=-

lnx

x2

由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；f′（x）＜0，可得x＞1，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数f（x）在x=1处取得唯一的极值．
由题意a＞0，且a＜1＜a+

1

3

，解得所求实数a的取值范围为

2

3

＜a＜1；    …（4分）
（2）解：当x≥1时，f（x）≥

k

x+1

恒成立，等价于

1+lnx

x

≥

k

x+1

恒成立，
∴k≤

(x+1)(1+lnx)

x

…（5分）
令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

（x≥1），由题意，k≤g（x）在[1，+∞）上恒成立
g′（x）=

x-lnx

x2

…（6分）
令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′（x）=1-

1

x

≥0，当且仅当x=1时取等号．
∴h（x）=x-lnx在[1，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0．…（8分）
∴g′（x）=

x-lnx

x2

＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=2．
∴k≤2．
∴所求实数k的取值范围为（-∞，2]；…（9分）
（3）证明：由（2），当x≥1时，即f（x）≥

2

x+1

，即

1+lnx

x

≥

2

x+1

，．…（10分）
从而lnx≥1-

2

x+1

＞1-

2

x

．           …（12分）
令x=

k+1

k

（k=1，2，…，n），得ln

2

1

＞1-

2

2

，ln

3

2

＞1-

2•2

3

，…，ln

n+1

n

＞1-

2•n

n+1

将以上不等式两端分别相加，
得ln（n+1）＞n-2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）．       …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．