Question

已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在区间[e，e²]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果函数g（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”．已知函数f1(x)=(a-

1

2

)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：

分析：（Ⅰ）当a=2时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，即可求f（x）在区间[e，e²]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）构造函数p（x）=f（x）-f₂（x）和h（x）=f₁（x）-f（x），将不等式转化为恒成立问题，利用导数和函数最值之间的关系，即可求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x²+lnx，
则f'（x）=4x+

1

x

=

4x2+1

x

，
当x∈[e，e²]时，f'（x）＞0，
即此时函数f（x）单调递增，
∴f（x）的最大值为f（e²）=2e⁴+lne²=2+2e⁴，
最小值为f（e）=2e²+lne=1+2e²．
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，
则f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），
令p（x）=f（x）-f₂（x）=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx＜0在（1，+∞）上恒成立，
h（x）=f₁（x）-f（x）=-

1

2

x2+2ax-a2lnx＜0在（1，+∞）上恒成立，
∵p'（x）=（2a-1）x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

，
①若a＞

1

2

，由p'（x）=0得x₁=1或x₂=

1

2a-1

，
当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上，有p'（x）＞0，此时函数单调递增，并且在该区间上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合题意．
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），不合题意．
②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上，有p'（x）＜0，此时函数p（x）单调递减，
要使p（x）＜0恒成立，只需要满足p（1）=-a-

1

2

≤0，即a≥-

1

2

即可，
此时-

1

2

≤a≤

1

2

．
又h′(x)=-x+2a-

a2

x

=

-x2+2ax-a2

x

=

-(x-a)2

x

＜0，
则h（x）在（1，+∞）上为减函数，
则h（x）＜h（1）=

1

2

+2a≤0，
∴a≤

1

4

，
综上-

1

2

≤a≤

1

4

，
即a的取值范围是[-

1

2

，

1

4

]．

点评：本题主要考查函数最值的计算，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．