Question

已知函数f（x）=lnx+ax+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=2^x-1，若存在x₁∈（0，+∞），对于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时，求导数，可得切线的斜率，求得切点坐标，可求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）分类讨论，利用f（x）_max≥g（x）_max，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+ax+1（x＞0），
∴f′（x）=

ax+1

x

                                              …（1分）
当a=1时，f′（1）=2，f（1）=2；
故y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-2=2（x-1），即2x-y=0；     …（4分）
（Ⅱ）当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f′（x）＞0，可得0＜x＜-

1

a

；f′（x）＜0，可得0x＞-

1

a

，
∴f（x）的单调增区间是（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞）；      …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x₁）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x₁）＞f（0）=1，
∵g（x）=2^x-1，在[0，1]上单调递增，则g（x₂）≤g（1）=1，
因此，当a≥0时，一定符合题意；                                   …（11分）
当a＜0时，f（x）的单调增区间是（0，-

1

a

），单调减区间为（-

1

a

，+∞），
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=ln（-

1

a

）
由题意知，只需满足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=1，
∴ln（-

1

a

）≥1，
∴-

1

e

≤a＜0
综上：a≥-

1

e

．                                                 …（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，正确求导数是关键．