Question

已知A、B是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右顶点，椭圆上异于A、B的两点C、D和x轴上一点P，满足

AP

=

1

3

AD

+

2

3

AC

．
（1）设△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，求证：S₁S₃=S₂S₄；
（2）设P点的横坐标为x₀，求x₀的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

CP

=

1

3

CD

，C、D、P三点共线，且C、D在P点的两侧，由此能够证明S₁S₃=S₂S₄．
（2）设直线CD的方程为：x=my+x₀由

x=my+x0 x2 4 + y2 3 =1

，得：（3m²+4）y²+6mx₀y+3x02-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出x₀的取值范围．

解答： （1）证明：∵

AP

=

1

3

AD

+

2

3

AC

，∴

AP

=

1

3

AD

+(1-

1

3

)

AC

，
即

AP

-

AC

=

1

3

（

AD

-

AC

），
∴

CP

=

1

3

CD

，
∴C、D、P三点共线，且C、D在P点的两侧，
∵△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，
∴

S1

S2

=

| CP |

| PD |

=

S4

S3

，∴S₁S₃=S₂S₄．
（2）解：由（Ⅰ）知，C、D、P三点共线，且C、D在P点的两侧，且C、D异于A、B的两点，
∴-2＜x₀＜2，且直线CD不平行于x轴，
设直线CD的方程为：x=my+x₀
由

x=my+x0 x2 4 + y2 3 =1

，得：（3m²+4）y²+6mx₀y+3x02-12=0，
当-2＜x₀＜2时，直线与椭圆有两个交点，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=-

6mx0

3m2+4

，y₁y₂=

3x02-12

3m2+4

，
又

CP

=

1

3

CD

，∴y₂=-2y₁，
联立三式，消去y₁、y₂ 得：-

72m2x02

(3m2+4)2

=

3x02-12

3m2+4

，
化简得：（27x02-12）m²=4（4-x02），
∵-2＜x₀＜2，m²＞0，∴27x₀²-12＞0，
所以x₀＞

2

3

或x₀＜-

2

3

，
综上知x₀的取值范围是（-2，-

2

3

）∪（

2

3

，2）．

点评：本题考查三角形面积乘积相等的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．