已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）抛物线C₂：y²=2px（p＞0）与椭圆C₁有公共焦点，设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上（R，S与Q不重合），且满足

QR

•

RS

=0，求|

QS

|的取值范围．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

2

2

，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点P（0，

2

）与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且

AB

•

OB

=

2

3

，求直线l的方程．

在平面xOy中，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组

x-y≥0 x+y≥0

确定的平面区域为V．
（Ⅰ）在区域U中任取一个点，若所取的点落在区域V中，称试验成功，求实验成功的概率；
（Ⅱ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U中任取1个“整点”，求这些“整点”恰好落在区域V中的概率．

已知a≤-

3

2

，求证：关于x的三个方程：x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0中至少有一个方程有实数根．

求函数y=

3x-1

2x+1

（2≤x≤4）的值域．

已知动圆P过定点F（2，0）且与直线x=-2相切，圆心P的轨迹为曲线C
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）①过定点f（2，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值；
②定点P（2，4），动点A，B是轨迹C上的三个点，且满足k_PA•k_PB=8，试问AB所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由．

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知点M（

3

，

2

2

）在椭圆上，且点M到两焦点距离之和为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），求

OA

•

OB

的取值范围．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足

a+c

b

=

sinA-sinB

sinA-sinC

．
（1）求角C；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

已知函数f（x）=2cos²

ωx

2

+sinωx（ω＞0）的最小正周期为π
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=2，c=3，△ABC的面积为3

3

，求a的值．

若函数f（x）=mx²+x+1在区间（1，2）上是增函数，求实数m的取值范围．