Question

已知a≤-

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2

，求证：关于x的三个方程：x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0中至少有一个方程有实数根．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据二次方程根的个数与△符号的关系，我们可以求出关于x的三个方程：x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0均无根的a的范围，进而得到答案．

解答： 证明：不妨假设三个方程x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0都没有实数根，
则有

16a2+16a-12＜0 (a-1)2-4a2＜0 16a2+60a-16＜0

解得-

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2

＜a＜-1，
∴当a≤-

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2

或a≥-1时，三个方程中至少有一个方程有实数根，
又∵由题设：a≤-

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故当a≤-

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时，三个方程x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0至少有一个方程有实根．

点评：本题考查的知识点是二次方程根的个数与△符号的关系，其中利用“正难则反”的原则，求出三个方程均无实根时a的范围，是解题的关键．