Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足

a+c

b

=

sinA-sinB

sinA-sinC

．
（1）求角C；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理得到一个关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）根据C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，代入sinA+sinB中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据A的范围得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出所求式子的范围．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：

a+c

b

=

sinA-sinB

sinA-sinC

=

a-b

a-c

，化简得a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

；
（2）∵C=

π

3

，∴A+B=π-C=

2π

3

，即B=

2π

3

-A，
则sinA+sinB=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
则sinA+sinB的取值范围是（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．