Question

已知动圆P过定点F（2，0）且与直线x=-2相切，圆心P的轨迹为曲线C
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）①过定点f（2，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值；
②定点P（2，4），动点A，B是轨迹C上的三个点，且满足k_PA•k_PB=8，试问AB所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件知圆心P的轨迹是焦点为F（2，0），准线为直线x=-2的抛物线，由此能求出点M的轨迹方程．
（Ⅱ）①设直线MN的方程为y=k（x-2），与y²=8x联立得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，由抛物线定义得到|MN|=|MF|+|NF|=

8(k2+1)

k2

，同理|RQ|=8（k²+1），由此能求出四边形MRNQ的面积的最小值．
②设A（

y12

8

，y1），B（

y22

8

，y2），则kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，从而得到y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0，由此能证明直线AB过定点（1，-4）．

解答： 解：（Ⅰ）∵动圆P过定点F（2，0）且与直线x=-2相切，
∴圆心P的轨迹是焦点为F（2，0），准线为直线x=-2的抛物线，
∴点M的轨迹方程是y²=8x．
（Ⅱ）①由题意知直线l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，
设直线MN的方程为y=k（x-2），与y²=8x联立得：
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，
由抛物线定义知：|MN|=|MF|+|NF|=x₁+x₂+4=

8(k2+1)

k2

，
同理RQ的方程为y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8（k²+1），
∴S_△RNQ=

1

2

|MN|•|RQ|
=32•

(k2+1)2

k2

=32（k²+

1

k2

+2）
≥32（2+2）=128，
当且仅当k²=1，即k=±1时取“=”号，
∴四边形MRNQ的面积的最小值为128．
②设A（

y12

8

，y1），B（

y22

8

，y2），y₁≠y₂，
∴kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，
∴k_PA•k_PB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0，…（※）
lAB：y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，∴y=

8

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
则y₁y₂-（y₁+y₂）y+8x=0，
与（※）比较可知，直线AB过定点（1，-4）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查四边形面积最小值的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．