Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）抛物线C₂：y²=2px（p＞0）与椭圆C₁有公共焦点，设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C₂上（R，S与Q不重合），且满足

QR

•

RS

=0，求|

QS

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，利用点到直线的距离公式可得b．再利用e=

c

a

，a²=b²+c²，即可得出．
（2）由抛物线与椭圆有公共的焦点可得p，再利用向量的数量积运算和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）由直线l：y=x+2与圆x²+y²=b²相切，∴

|0-0+2|

2

=b，解得b=

2

．
联立

e= c a = 3 3 a2=( 2 )2+c2

解得a=

3

，c=1．
∴椭圆的方程是C1：

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y²=2px的焦点(

p

2

，0)，
∵有公共的焦点，∴

p

2

=1，解得p=2，故抛物线C₂的方程为：y²=4x．
易知Q（0，0），设R（

y 2 1

4

，y₁），S（

y 2 2

4

，y₂），
∴

QR

=（

y 2 1

4

，y₁），

RS

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)，
由

QR

•

RS

=0，得

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0，
∵y₁≠y₂，∴y2=-(y1+

16

y1

)，
∴

y

2 2

=

y

2 1

+

256

y 2 1

+32≥2

y 2 1 • 256 y 2 1

+32=64，当且仅当

y

2 1

=16，即y₁=±4时等号成立．
又|

QS

|=

y 4 2 16 + y 2 2

=

1

4

( y 2 2 +8)2-64

≥

1

4

722-64

=8

5

，
当

y

2 2

=64，即y₂=±8时，|

QS

|min=8

5

，
故|

QS

|的取值范围是[8

5

，+∞）．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积运算和基本不等式的性质、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．