Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

2

2

，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点P（0，

2

）与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，且

AB

•

OB

=

2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出2b=2，

c

a

=

2

2

，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+

2

，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0，由此利用韦达定理能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

2

2

，且短轴长为2，
∴2b=2，b=1，e=

c

a

=

2

2

，
又∵a²=b²+c²，
∴a=

2

，c=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+

2

，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，消去y得：（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0，
∴x1+x2=

-4 2 k

1+2k2

，x₁x₂=

2

1+2k2

，
∵

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+

2

k(x1+x2)+2，
∴（1+k²）

2

1+2k2

+

2

k•

-4 2 k

1+2k2

+2=

2

3

，
解得k²=1，∴k=±1，
∴直线l的方程为y=x+

2

，或y=-x+

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．