年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：

健康指数	2	1	0	-1
60岁至79岁的人数	250	260	65	25
80岁及以上的人数	20	45	20	15

其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”．
（Ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．
（Ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”．请写出该地区老龄人健康指数X分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”．

已知AB是抛物线x²=2y上相异的两个动点，且满足

OA

•

OB

=-1
（Ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该点坐标；
（Ⅱ）取抛物线上一点P（P点横坐标xP∈[-

2

，

2

]），其关于y轴的对称点为P'．过P、P'作圆Q（Q是y轴正半轴一点），使抛物线上除点P、P'外，其余各点均在圆Q外，求当圆Q半径取得最大值时的标准方程．

设椭圆的方程为E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．
（1）问：直线OM与AB能否垂直？若能，求a，b之间满足的关系式；若不能，说明理由；
（2）已知M为ON的中点，且N点在椭圆上．若∠OAN=

π

2

，求a，b之间满足的关系式．

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆O：x²+y²=1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），（1）求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
（2）当λ=

2

时的曲线记为C，在直线y=2x+1上有一点P，过P且垂直于直线4x+3y-3=0的直线被曲线C所截的弦长不小于2

3

，求P点横坐标的取值范围．

如图，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b，b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C_l的长轴三等分，且圆C₂的面积为π．椭圆C_l的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C₁的另一个交点分别是点P、M．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K₁，求

K1

t

的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．

从数列{a_n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a_n}的一个子列．
（Ⅰ）写出数列{3n-1}的一个是等比数列的子列；
（Ⅱ）若{a_n}是无穷等比数列，首项a₁=1，公比q＞0且q≠1，则数列{a_n}是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论．

已知函数f（x）=aln（x+1），g（x）=x-

1

2

x2，a∈R．
（1）若a=-1，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值；
（3）设p（x）=f（x-1），a＞0，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为曲线y=p（x）的两个不同点，满足0＜x₁＜x₂，且?x₃∈（x₁，x₂），使得曲线y=P（x）在（x₃，P（x₃））处的切线与直线AB平行，求证：x₃＜

x1+x2

2

．

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

3

=1（a＞0）的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C的方程是（　　）

已知x，y满足约束条件

x-y≥-5 x+y≥0 x≤3

，则z=2x+4y的最小值是（　　）

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面对角线A₁C₁上的两个不同动点．
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B₁C都成45°的角；
③若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若|PQ|=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
以上命题为真命题的个数是（　　）