Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面对角线A₁C₁上的两个不同动点．
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B₁C都成45°的角；
③若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若|PQ|=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
以上命题为真命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：令P与A₁点重合，Q与C₁点重合，可判断①；根据BP与直线B₁C所成的角最小值为45°，可判断②；根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断③；根据四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积不变，可判断④．

解答： 解：当P与A₁点重合，Q与C₁点重合时，BP⊥DQ，故①正确；
当P与A₁点重合时，BP与直线B₁C所成的角最小，此时两异面直线夹角为60°，故②错误；
设平面A₁B₁C₁D₁两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，
故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确；
四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，
四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为

2

2

，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，
故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，故④正确；
故为真命题的有3个．
故选：C

点评：本题考查的知识点是棱柱的几何特征，是空间异面直线关系，棱锥体积，投影的综合应用，难度较大．