Question

如图，椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b，b＞0）和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C_l的长轴三等分，且圆C₂的面积为π．椭圆C_l的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆C₁的另一个交点分别是点P、M．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）（i）设PM的斜率为t，直线l斜率为K₁，求

K1

t

的值；
（ii）求△EPM面积最大时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由圆的面积求得b的值，结合圆C₂将椭圆C_l的长轴三等分求得a的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（i）设出PE所在直线方程，和（Ⅰ）中求得的椭圆方程联立求得P、M的坐标，则t可求，联立直线PE的方程与圆的方程求得A点坐标，则直线l斜率为K₁可求，作比可得

K1

t

的值；
（ii）由两点间的距离公式求得线段|PE|、|EM|的长度，则PE、EM垂直时三角形EPM面积最大，由基本不等式求出面积最大值并得到面积最大时的k的值，则直线l的方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵圆C₂：x²+y²=b²的面积为π，
∴b²π=π，即b=1．
∴a=3b=3，
椭圆方程为

x2

9

+y2=1；
（Ⅱ）（i）由题意知直线PE、ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，
不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx-1，
由

y=kx-1 x2 9 +y2=1

，得

x= 18k 9k2+1 y= 9k2-1 9k2+1

或

x=0 y=-1

．
∴P（

18k

9k2+1

，

9k2-1

9k2+1

），
用-

1

k

去代k，得M(

-18k

k2+9

，

9-k2

k2+9

)，则
t=kPM=

9k2-1 9k2+1 - 9-k2 k2+9

18k 9k2+1 + 18k k2+9

=

k2-1

10k

．
由

y=kx-1 x2+y2=1

，得

x= 2k 1+k2 y= k2-1 k2+1

或

x=0 y=-1

．
∴A(

2k

1+k2

，

k2-1

k2+1

)．
∴K1=

k2-1

2k

，则

K1

t

=

k2-1 2k

k2-1 10k

=5；
（ii）|PE|=

( 18k 9k2+1 )2+( 18k2 9k2+1 )2

=

18k

9k2+1

1+k2

，
|EM|=

18 k

9 k2 +1

1+ 1 k2

=

18

9+k2

1+k2

．
∴S△EPM=

1

2

•

18k

9k2+1

1+k2

•

18

9+k2

1+k2

=

162k(1+k2)

(9+k2)(1+9k2)

=

162(k+k3)

9k4+82k2+9

=

162( 1 k +k)

9k2+82+ 9 k2

．
设

1

k

+k=u，
则S△EPM=

162u

82+9(u2-2)

=

162

9u+ 64 u

≤

162

2 9u• 64 u

=

27

8

．
当且仅当

1

k

+k=u=

8

3

时取等号，
此时(k-

1

k

)2=(k+

1

k

)2-4=

28

9

，
∴k-

1

k

=±

2 7

3

．
则直线AB：y=

k2-1

2k

x．
∴所求的直线l的方程为：y=±

7

3

x．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了方程组的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查了学生的运算能力，属高考试题中的压轴题．