Question

设椭圆的方程为E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．
（1）问：直线OM与AB能否垂直？若能，求a，b之间满足的关系式；若不能，说明理由；
（2）已知M为ON的中点，且N点在椭圆上．若∠OAN=

π

2

，求a，b之间满足的关系式．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设出直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出A，B两点横坐标的和与积，由中点坐标公式求得M的坐标，再由AB和OM的斜率之间的关系求得a=b，得到矛盾，说明直线OM与AB不能垂直；
（2）由转化思想方法，得到四边形OANB为矩形，则

OA

•

OB

=0，代入坐标后展开，进一步转化为关于A，B两点坐标间的关系，结合根与系数关系得到a，b之间满足的关系式．

解答： 解：（1）∵斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，
∴可以设直线AB的方程为y=x+m，m≠0．
∵

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+m

，
∴b²x²+a²（x+m）²-a²b²=0，
∴（a²+b²）x²+2ma²x+m²a²-a²b²=0．
∵直线AB与椭圆相交于A，B两点，
∴△=（2ma²）²-4（a²+b²）（m²a²-a²b²）
=4[m²a⁴-（m²a⁴+m²a²b²-a⁴b²-a²b⁴）]
=4[a⁴b²+a²b⁴-m²a²b²]=4a²b²（a²+b²-m²）＞0．
且xA+xB=-

2ma2

a2+b2

，xAxB=

m2a2-a2b2

a2+b2

．
∵M为线段AB的中点，
∴xM=

xA+xB

2

=-

ma2

a2+b2

，
∴yM=xM+m=-

ma2

a2+b2

+m=m

b2

a2+b2

，
∴M(-

ma2

a2+b2

，

mb2

a2+b2

)．
假设直线OM与AB能垂直．
∵直线AB的斜率为1，
∴直线OM的斜率为-1，
∴

mb2

a2+b2

=-(-

ma2

a2+b2

)，
∴a=b．
∵在椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a＞b，
∴假设不正确，即在椭圆中直线OM与AB不能垂直；
（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，
∴四边形OANB为平行四边形．
∵∠OAN=

π

2

，
∴四边形OANB为矩形，
∴∠AOB=

π

2

，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x_Ax_B+y_Ay_B=0，x_Ax_B+（x_A+m）（x_B+m）=0，
∴2xAxB+m(xA+xB)+m2=0，
∴2

m2a2-a2b2

a2+b2

+m(-

2ma2

a2+b2

)+m2=0，整理得m²（a²+b²）=2a²b²．
∵N点在椭圆上，
∴

b2(-2ma2)2

(a2+b2)2

+

a2(2mb2)2

(a2+b2)2

=a2b2，
∴4m²=a²+b²．此时a²+b²-m²=3m²＞0，满足△＞0，
消去m²得（a²+b²）²=8a²b²，
即a⁴+b⁴-6a²b²=0．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题体现了数学转化思想方法，是高考试卷中的压轴题．