Question

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆O：x²+y²=1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），（1）求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
（2）当λ=

2

时的曲线记为C，在直线y=2x+1上有一点P，过P且垂直于直线4x+3y-3=0的直线被曲线C所截的弦长不小于2

3

，求P点横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设点M的坐标为（x，y），欲求动点M的轨迹方程，即寻找x，y间的关系式，结合题中条件列式化简即可得；最后对参数λ分类讨论看方程表示什么曲线即可；
（2）当λ=

2

时的曲线记为C：x²+y²-8x+9=0，即（x-4）²+y²=7，根据直线被曲线C所截的弦长不小于2

3

，可得圆心到直线的距离不大于

7-3

=2，设出过P且垂直于直线4x+3y-3=0的直线方程，即可得出结论．

解答： 解：（1）如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ＞0．
因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
设点M的坐标为（x，y），则

x2+y2-1

=λ

(x-2)2+y2

，
整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P．故这个方程为所求的轨迹方程．
当λ=1时，方程化为x=

5

4

，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（

5

4

，0），
当λ≠1时，方程化为（x-

2λ2

λ2-1

）²+y²=

1+3λ2

(λ2-1)2

它表示圆，该圆圆心的坐标为（

2λ2

λ2-1

，0），半径为

1+3λ2

|λ2-1|

；
（2）当λ=

2

时的曲线记为C：x²+y²-8x+9=0，即（x-4）²+y²=7，
∵直线被曲线C所截的弦长不小于2

3

，
∴圆心到直线的距离不大于

7-3

=2，
设P（a，2a+1），则过P且垂直于直线4x+3y-3=0的直线方程为y-2a-1=

3

4

（x-a），即3x-4y+5a-4=0，
∴圆心到直线的距离d=

|12+5a-4|

5

≤2，
∴-

18

5

≤a≤

2

5

．

点评：本小题考查曲线与方程的关系，轨迹的概念，考查直线与圆的位置关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．