已知圆心为F₁的圆的方程为（x+2）²+y²=32，F₂（2，0），C是圆F₁上的动点，F₂C的垂直平分线交F₁C于M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁+k₂为定值．

如图，在圆x²+y²=2上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．点M在线段DP上，且

DM

=

2

2

DP

．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）所得的曲线为C，已知过点N（2，0）的直线l与曲线C相交于两点A、B两点，设Q为曲线C上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OQ

（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

已知函数f（x）=x²+x+b（b为实数）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（C点异于A、B）．
（1）求b的取值范围；
（2）求过三点A、B、C的圆的方程．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦点F₁的坐标为（-1，0），已知椭圆E上的一点到F₁、F₂两点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过椭圆E的右焦点F₂作一条倾斜角为

π

4

的直线交椭圆于C、D，求△CDF₁的面积；
（Ⅲ）设点P（4，t）（t≠0），A、B分别是椭圆的左、右顶点，若直线AP、BP分别与椭圆相交异于A、B的点M、N，求证∠MBP为锐角．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过点F₂与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点，则△ABF₁的周长为4

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C（

1

3

，0），使得|AC|=|BC|，求直线l的方程．

设椭圆的方程为E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．
（1）问：直线OM与AB能否垂直？若能，a，b之间满足什么关系；若不能，说明理由；
（2）已知M为ON的中点，且N点在椭圆上．若∠OAN=

π

2

，求椭圆的离心率．

如图，直线l：y=x+b与抛物线x²=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l₁交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．

编写一个程序框图，求二元一次方程组

a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2

（a₁b₂-a₂b₁≠0）的解．

已知函数f(x)=ex-

a

2

x2e|x|．
（Ⅰ）若f（x）是[0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立；
（Ⅲ）对于在（0，1）中的任一个常数a，试探究是否存在x₀＞0，使得f（x₀）＞x₀+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x₀；如果不存在，请说明理由．

已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）过点A（0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点，当|PE|•|PF|最小时，求直线EF的方程．