Question

如图，在圆x²+y²=2上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．点M在线段DP上，且

DM

=

2

2

DP

．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）所得的曲线为C，已知过点N（2，0）的直线l与曲线C相交于两点A、B两点，设Q为曲线C上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OQ

（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用

DM

=

2

2

DP

，确定M，P坐标之间的关系，根据点P在圆上运动，即可求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入

OA

+

OB

=t

OQ

后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），则
由

DM

=

2

2

DP

，即(0，y)=

2

2

(x0-x，y0)，得：x0=x，y0=

2

y，
因为点P在圆x²+y²=2上运动，所以

x

2 0

+

y

2 0

=2．①
把x0=x，y0=

2

y代入方程①，得x²+2y²=2，即

x2

2

+y2=1这就是点M的轨迹方程．…5分
（Ⅱ）曲线C的方程为

x2

2

+y2=1．
由题意知直线l的斜率存在．
设直线l的方程：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），…6分
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．…8分
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k2＜

1

2

．…9分
∵

OA

+

OB

=t

OP

，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y）．
∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

y1+y2

t

=

-4k

t(1+2k2)

∵点P在椭圆上，∴[

8k2

t(1+2k2)

]²+2•[

-4k

t(1+2k2)

]²=2．
∴16k²=t²（1+2k²）…11分
∴t2=

16k2

1+2k2

=

16

1 k2 +2

＜

16

2+2

=4，则-2＜t＜2，…13分
∴t的最大整数值为1．…14分．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量的坐标运算，训练了利用代入法求解变量的取值范围．属中档题．