Question

如图，直线l：y=x+b与抛物线x²=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l₁交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由直线l：y=x+b与抛物线x²=4y，根据直线l与抛物线相切，可得△=16+16b=0，即可求实数b的值；
（2）由题意可知直线l₁的方程为y=x+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|BC|，求出点A到直线l₁的距离，可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）由直线l：y=x+b与抛物线x²=4y，消去y，
可$\end{array}\right.$得x²=4（x+b），即x²-4x-4b=0…（2分）
∵直线l与抛物线相切，
∴△=16+16b=0，即b=-1…（5分）
（2）∵抛物线的焦点为（0，1），
∴由题意可知直线l₁的方程为y=x+1 …（7分）
由

y=x+1 x2=4y

得x²-4x-4=0…（8分）
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，x₁x₂=-4，
∴|BC|=

2

•|x₁-x₂|=

2

•

16+16

=8…（10分）
由（1）得点的坐标为A（2，1）…（11分）
∴点A到直线l₁的距离d=

|2-1+1|

12+(-1)2

=

2

…（12分）
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=4

2

  …（13分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式，考查三角形面积的计算，正确运用韦达定理是关键．