Question

设椭圆的方程为E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．
（1）问：直线OM与AB能否垂直？若能，a，b之间满足什么关系；若不能，说明理由；
（2）已知M为ON的中点，且N点在椭圆上．若∠OAN=

π

2

，求椭圆的离心率．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线AB的方程为y=x+m，m≠0，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出M的坐标，假设直线OM与AB能垂直，由于直线AB的斜率为1，可得直线OM的斜率为-1，即可得出结论；
（2）确定

OA

•

OB

=0，可得x_Ax_B+y_Ay_B=0，即x_Ax_B+（x_A+m）（x_B+m）=0，整理得m²（a²+b²）=2a²b²，结合N点在椭圆上，即可求椭圆的离心率．

解答： 解：（1）∵斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，
∴可以设直线AB的方程为y=x+m，m≠0．
∵

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+m

，∴b²x²+a²（x+m）²-a²b²=0，
∴（a²+b²）x²+2ma²x+m²a²-a²b²=0．①…（1分）
∵直线AB与椭圆相交于A，B两点，
∴△=（2ma²）²-4（a²+b²）（m²a²-a²b²）=4[m²a⁴-（m²a⁴+m²a²b²-a⁴b²-a²b⁴）]
=4[a⁴b²+a²b⁴-m²a²b²]=4a²b²（a²+b²-m²）＞0．②…（2分）
且xA+xB=-

2ma2

a2+b2

，xAxB=

m2a2-a2b2

a2+b2

．③…（3分）
∵M为线段AB的中点，∴xM=

xA+xB

2

=-

ma2

a2+b2

，
∴yM=xM+m=-

ma2

a2+b2

+m=m

b2

a2+b2

，
∴M(-

ma2

a2+b2

，

mb2

a2+b2

)．…（4分）
假设直线OM与AB能垂直．
∵直线AB的斜率为1，∴直线OM的斜率为-1，
∴

mb2

a2+b2

=-(-

ma2

a2+b2

)，∴a=b．…（5分）
∵在椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a＞b，
∴假设不正确，在椭圆中直线OM与AB不能垂直．…（6分）
（2）∵M为ON的中点，M为AB的中点，∴四边形OANB为平行四边形．
∵∠OAN=

π

2

，∴四边形OANB为矩形，∴∠AOB=

π

2

，…（7分）
∴

OA

•

OB

=0，∴x_Ax_B+y_Ay_B=0，∴x_Ax_B+（x_A+m）（x_B+m）=0，
∴2xAxB+m(xA+xB)+m2=0，
∴2

m2a2-a2b2

a2+b2

+m(-

2ma2

a2+b2

)+m2=0，整理得m²（a²+b²）=2a²b²．…（8分）
∵N点在椭圆上，∴

b2(-2ma2)2

(a2+b2)2

+

a2(2mb2)2

(a2+b2)2

=a2b2，
∴4m²=a²+b²．…（9分）
此时a²+b²-m²=3m²＞0，满足△＞0，
消去m²得（a²+b²）²=8a²b²，即a⁴+b⁴-6a²b²=0．…（10分）
设椭圆的离心率为e，则c=ae，∴b²=a²-c²=a²（1-e²），
∴a⁴+a⁴（1-e²）²-6a²a²（1-e²）=0，∴e⁴+4e²-4=0，
∴e2=-2±2

2

，
∵0＜e＜1，∴e=

2 2 -2

．…（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，此类问题常用直线方程和圆锥曲线方程联立，利用一元二次方程的根与系数关系求解，考查了学生的计算能力，属难题．