Question

已知圆心为F₁的圆的方程为（x+2）²+y²=32，F₂（2，0），C是圆F₁上的动点，F₂C的垂直平分线交F₁C于M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁+k₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆的定义，得点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点，以4

2

为长轴长的椭圆，即可求得轨迹方程；
（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，直接求出A，B的坐标，则k₁、k₂可求，求出k_l+k₂=4，当斜率存在时，设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，写出斜率的和后代入A，B两点的横坐标的和与积，整理后得到k_l+k₂=4．从而证得答案．

解答： （1）解：∵F₂C的垂直平分线交F₁C于M，
∴|MF₁|=|MC|．
∵|F₁C|=4

2

，
∴|MF₁|+|MC|=4

2

，
∴|MF₁|+|MF₂|=4

2

，
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点，以4

2

为长轴长的椭圆．
由c=2，a=2

2

，得b²=a²-c²=8-4=4．
故曲线C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），
与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4k(k-2)

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-8k

1+2k2

．
从而k_l+k₂=

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=2k-（k-4）•

4k(k-2)

2k2-8k

=4．
当直线l的斜率不存在时，得A（-1，

14

2

），B（-1，-

14

2

），
得k_l+k₂═4．
综上，恒有k_l+k₂=4，为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，此类问题常用直线方程和圆锥曲线方程联立，利用一元二次方程的根与系数关系求解，考查了学生的计算能力，属难题．