某电视台组织一档公益娱乐节目，规则如下：箱中装有2个红球3个白球，参与者从中随机摸出一球，若为白球，将其放回箱中，并再次随机摸球；若为红球，则红球不放回并往箱中添加一白球，再次随机摸球．如果连续两次摸得白球，则摸球停止．设摸球结束时参与者摸出的红球数是随机变量誉，受益人获得的公益金y．与摸出的红球数ξ的关系是y=20000+5000ξ（单位：元）．
（Ⅰ）求在第一次摸得红球的条件下，赢得公益金为30000元的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列与期望．

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂=4，a₃+a₄=17．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2^a_n+2，证明数列{b_n}是等比数列并求其前n项和T_n．

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}，其中0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，且n≥3，若对?i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
（Ⅱ）已知数集A={a₁，a₂，…，a₈}具有性质P．
①求证：0∈A；
②判断数列a₁，a₂，…，a₈是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=49，a₄和a₈的等差中项为11．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=

3

，SB=2

2

．
（1）证明：BC⊥SC
（2）求点A到平面SCB的距离．

已知圆M：x²+（y-2）²=1，直线l：y=-1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且

OA

•

OB

=-16，求证：直线AB恒过定点．

已知函数f（x）=x²-2a²lnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）记函数f（x）的最小值为M，求证：M≤1．

函数f（x）=

2+x x-1

的定义域为集合A，关于x的不等式(

1

2

)2x＞2^-a-x，（a∈R）的解集为B，
（1）分别求出集合A、B；
（2）求使A∩B=B的实数a的取值范围．

以抛物线y²=4x的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B₂，右顶点为A₂，左、右焦点为F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

3

3

|

OB2

|，过点D（0，2）的直线l，斜率为k（k＞0），l与椭圆交于M，N两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M，N的中点为H，且

OH

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x轴上是否存在点Q（m，0），使得以QM，QN为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出m的范围；否则，请说明理由．

某中学为丰富教工生活，国庆节举办教工趣味投篮比赛，有A、B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．其规则是：按先A后B再A的顺序投篮．教师甲在A和B点投中的概率分别是

1

2

和

1

3

，且在A、B两点投中与否相互独立．
（Ⅰ）若教师甲投篮三次，试求他投篮得分X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若教师乙与甲在A、B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．