Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}，其中0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，且n≥3，若对?i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
（Ⅱ）已知数集A={a₁，a₂，…，a₈}具有性质P．
①求证：0∈A；
②判断数列a₁，a₂，…，a₈是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据数列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3时具有性质P，对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证；
（Ⅱ）①）根据a₁、a₂、…a_n的大小关系和性质P，可得a_n+a_n=2a_n＞a_n，则a_n-a_n=0=a₁∈A；
②根据数集A={a₁，a₂…a₈}具有性质P，可得a_i+a_9-i=a₈ ，a_i+a_8-i=a₇ ，由此可知a_i=a₈-a_9-i=a₈-（a₇-a_i-1），即a_i-a_i-1=a₈-a₇，从而得到a₁，a₂，…a₈构成等查数列．

解答： 解：（Ⅰ）∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的项，
∴数列0，1，3中，a₂+a₃=1+3=4和a₃-a₂=3-1=2都不是该数列中的数；数列0，2，4，6，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a₄-a₃=2是该数列中的项，
∴数集{0，1，3}不具有性质P，数集{0，2，4，6}具有性质P；
（Ⅱ）①证明：∵0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3，
∴a_n+a_n=2a_n＞a_n，则a_n-a_n=0=a₁∈A，
②∵A={a₁，a₂，…，a₈}具有性质P，所以a₈+a₈与a₈-a₈中至少有一个属于A，
由0≤a₁＜a₂＜…＜a₈，有a₈+a₈＞a₈，故a₈+a₈∉A，∴0=a₈-a₈∈A，故a₁=0．
∵0=a₁＜a₂＜…＜a₈，∴a₈+a_k＞a₈，故a₈+a_k∉A（k=2，3，…，8）．
由A具有性质P知，a₈-a_k∈A（k=2，3，…，8）．
又∵a₈-a₈＜a₈-a₇＜…＜a₈-a₂＜a₈-a₁，
∴a₈-a₈=a₁，a₈-a₇=a₂，…，a₈-a₂=a₇，a₈-a₁=a₈，即a_i+a_9-i=a₈（i=1，2，…，8）．…（1）
由a₂+a₇=a₈知，a₃+a₇，a₄+a₇，…，a₇+a₇均不属于A，
由A具有性质P，a₇-a₃，a₇-a₄，…，a₇-a₇均属于A，
∴a₇-a₇＜a₇-a₆＜…＜a₇-a₄＜a₇-a₃＜a₈-a₃ ，
∴a₇-a₇=0，a₇-a₆=a₂，a₇-a₅=a₃，…，a₇-a₃=a₅，即 a_i+a_8-i=a₇（i=1，2…7）．…（2）
由（1）（2）可知a_i=a₈-a_9-i=a₈-（a₇-a_i-1）  （i=1，2…7，8），
即a_i-a_i-1=a₈-a₇（i=2，3，…，8）．
故a₁，a₂，…a₈构成等查数列．

点评：本题考查数列的综合应用，考查等差关系的确定，等差数列的定义，新定义，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．